Variancia y Desviación Estándar
Cuando se lleva a cabo el análisis de la distribución de los datos de una muestra, el estudio de sus medidas centrales no es suficiente, debido a que diferentes conjuntos de datos pueden tener medidas centrales idénticas y comportamientos completamente distintos. En esta lección estudiaremos las medidas de dispersión: el rango, la variancia (varianza), la desviación estándar y la desviación media.
1. Medidas de Dispersión
Una medida de dispersión (o variabilidad) indica qué tan cercanos o separados están los valores con respecto a la media u otra medida de tendencia central.
Consideremos dos conjuntos de \( n = 6 \) datos:
- Primer conjunto: \( 20, 12, 15, 16, 13 \) y \( 14 \quad \rightarrow \quad \bar{x} = \frac{90}{6} = 15 \)
- Segundo conjunto: \( 5, 0, 50, 17, 8 \) y \( 10 \quad \rightarrow \quad \bar{x} = \frac{90}{6} = 15 \)
En ambos casos se obtiene exactamente el mismo promedio (\( \bar{x} = 15 \)), pero al ubicarlos en una recta numérica es evidente que las observaciones del segundo conjunto tienen una dispersión mucho mayor que las del primero.
2. Rango (\( r \))
El primer valor que muestra cómo están dispersos los datos es el rango de las observaciones, denotado por \( r \). El rango es una medida variacional que indica el tamaño o longitud del intervalo en el que se encuentran distribuidos los datos:
Ejemplo con los dos conjuntos anteriores:
- En el primer conjunto (\( 20, 12, 15, 16, 13, 14 \)): \( r_1 = 20 - 12 = 8 \). Los datos están distribuidos en un intervalo de longitud \( 8 \).
- En el segundo conjunto (\( 5, 0, 50, 17, 8, 10 \)): \( r_2 = 50 - 0 = 50 \). Los datos están distribuidos en un intervalo de longitud \( 50 \).
Aunque el rango muestra cuál conjunto tiene mayor separación entre extremos, no refleja el comportamiento de todos los datos con respecto a su media.
3. Variancia y Desviación Estándar
Sea una muestra \( x_1, x_2, \dots, x_n \) con \( n \) datos y valor medio \( \bar{x} \). Los cuadrados de las desviaciones de cada uno de los datos con respecto a su valor medio son \( (x_1 - \bar{x})^2, (x_2 - \bar{x})^2, \dots, (x_n - \bar{x})^2 \). A partir de ellos se definen dos tipos de variancia:
Sean \( x_1, x_2, \dots, x_n \) los valores de una muestra aleatoria, llamaremos:
1. Variancia (varianza) sesgada o poblacional (\( s_n^2 \) o \( \sigma^2 \)):
$$ s_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $$2. Variancia (varianza) insesgada o muestral (\( s_{n-1}^2 \) o \( s^2 \)):
$$ s_{n-1}^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $$La variancia sesgada o poblacional (\( s_n^2 \)) refleja directamente el promedio de los cuadrados de las desviaciones y se emplea cuando se tiene toda la población o en probabilidad. En cambio, la variancia insesgada o muestral (\( s_{n-1}^2 \)) divide entre \( n - 1 \) y es la más propicia en los cálculos estadísticos e inferenciales cuando se trabaja con muestras.
Desviación Estándar (\( s_n \) y \( s_{n-1} \))
Como la variancia se calcula con los cuadrados de las desviaciones, no queda expresada en las mismas unidades que los datos originales. Por esta razón se introduce la desviación estándar:
Se llama desviación estándar de un conjunto de datos a la raíz cuadrada positiva de la variancia, la cual dependerá del tipo de variancia que se esté empleando:
$$ \text{Poblacional:} \quad s_n = \sigma = \sqrt{s_n^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \qquad \Big| \qquad \text{Muestral:} \quad s_{n-1} = s = \sqrt{s_{n-1}^2} = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} $$Problema: Calcule la variancia insesgada (\( s_{n-1}^2 \)) y su desviación estándar (\( s_{n-1} \)) en cada uno de los dos conjuntos dados al inicio de la lección.
Para el Conjunto 1 (\( 20, 12, 15, 16, 13, 14 \) con \( n = 6 \) y \( \bar{x} = 15 \)):
$$ s_{n-1}^2 = \frac{1}{6 - 1}\left[(20 - 15)^2 + (12 - 15)^2 + (15 - 15)^2 + (16 - 15)^2 + (13 - 15)^2 + (14 - 15)^2\right] $$ $$ s_{n-1}^2 = \frac{1}{5}\left[25 + 9 + 0 + 1 + 4 + 1\right] = \frac{40}{5} = 8 $$Su desviación estándar muestral es:
$$ s_{n-1} = \sqrt{8} \approx 2.8284 $$Para el Conjunto 2 (\( 5, 0, 50, 17, 8, 10 \) con \( n = 6 \) y \( \bar{x} = 15 \)):
$$ s_{n-1}^2 = \frac{1}{6 - 1}\left[(5 - 15)^2 + (0 - 15)^2 + (50 - 15)^2 + (17 - 15)^2 + (8 - 15)^2 + (10 - 15)^2\right] $$ $$ s_{n-1}^2 = \frac{1}{5}\left[100 + 225 + 1\,225 + 4 + 49 + 25\right] = \frac{1\,628}{5} = 325.6 $$Su desviación estándar muestral es:
$$ s_{n-1} = \sqrt{325.6} \approx 18.0444 $$Interpretación: Aunque ambos conjuntos tienen media \( 15 \), el segundo conjunto tiene una variabilidad considerablemente mayor, por lo que los datos del primer conjunto son mucho más homogéneos.
Para el conjunto \( 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 \) (\( n = 8 \), rango \( r = 9 - 2 = 7 \), media \( \bar{x} = 5 \)):
- Suma de cuadrados de las desviaciones: $$ \sum_{i=1}^{8} (x_i - 5)^2 = (-3)^2 + 3(-1)^2 + 2(0)^2 + (2)^2 + (4)^2 = 9 + 3 + 0 + 4 + 16 = 32 $$
- Variancia y desviación estándar poblacional (\( \div 8 \)): $$ s_n^2 = \frac{32}{8} = 4 \quad \implies \quad s_n = \sqrt{4} = 2 $$
- Variancia y desviación estándar muestral (\( \div 7 \)): $$ s_{n-1}^2 = \frac{32}{8 - 1} = \frac{32}{7} \approx 4.5714 \quad \implies \quad s_{n-1} = \sqrt{\frac{32}{7}} \approx 2.1381 $$
4. Otra Expresión para el Cálculo de las Variancias
En los cálculos prácticos de la variancia se acostumbra emplear una representación algebraica equivalente que evita restar la media a cada dato individual:
Variancia sesgada o poblacional:
$$ s_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2 = \frac{n - 1}{n} s_{n-1}^2 $$Variancia insesgada o muestral:
$$ s_{n-1}^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{n}{n - 1} \bar{x}^2 = \frac{n}{n - 1} s_n^2 $$Para el conjunto \( 20, 12, 15, 16, 13, 14 \) (\( n = 6, \bar{x} = 15 \)):
$$ s_{n-1}^2 = \frac{1}{6 - 1}\left[20^2 + 12^2 + 15^2 + 16^2 + 13^2 + 14^2\right] - \frac{6}{6 - 1}(15)^2 $$ $$ s_{n-1}^2 = \frac{1}{5}\left[400 + 144 + 225 + 256 + 169 + 196\right] - \frac{6}{5}(225) = 278 - 270 = 8 $$El resultado coincide exactamente con el obtenido mediante la definición.
5. Desviación Media (\( DM \))
Otra medida de dispersión relacionada directamente con el promedio es la desviación media (\( DM \)) o desviación media absoluta (\( DMA \)), definida como el promedio de los valores absolutos de las desviaciones de cada uno de los datos con respecto a la media:
Problema: Calcule la desviación media para el conjunto \( 20, 12, 15, 16, 13 \) y \( 14 \) (cuya media es \( \bar{x} = 15 \)).
Solución:
$$ DM = \frac{1}{6}\left\{ |20 - 15| + |12 - 15| + |15 - 15| + |16 - 15| + |13 - 15| + |14 - 15| \right\} $$ $$ DM = \frac{1}{6}\left\{ 5 + 3 + 0 + 1 + 2 + 1 \right\} = \frac{12}{6} = 2 $$6. Calculadora Interactiva de Dispersión
Calculadora de Rango, Variancia, Desviación Estándar y Desviación Media
Ingresa un conjunto de datos para calcular su rango, desviación media, variancia poblacional (\( s_n^2 \)), variancia muestral (\( s_{n-1}^2 \)) y sus respectivas desviaciones estándar, además de visualizar las desviaciones respecto a la media.
Quiz — Pon a prueba lo que aprendiste
Responde 5 preguntas sobre rango, desviación media, variancia y desviación estándar.