Media, Mediana y Moda

Dado un conjunto finito de datos muestrales \( x_1, x_2, \dots, x_n \), se llama media muestral (promedio aritmético) o estadístico media al valor simbolizado por \( \bar{x} \) (x barra o x testada):

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$

De forma similar, para una población finita \( x_1, x_2, \dots, x_N \), se simboliza con la letra griega miu (\( \mu \)) al parámetro media poblacional:

$$ \mu = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i $$

Problema: El señor Luis Martínez tiene registradas las cantidades mensuales que ha ganado en el último medio año (\( \$10\,800, \$9\,700, \$11\,100, \$8\,950, \$9\,750 \) y \( \$10\,500 \)) y desea conocer el valor que represente su salario promedio durante este tiempo.

Solución: Sumamos los \( n = 6 \) sueldos mensuales y dividimos entre la cantidad de meses:

$$ \bar{x} = \frac{10\,800 + 9\,700 + 11\,100 + 8\,950 + 9\,750 + 10\,500}{6} = \frac{60\,800}{6} = \$10\,133.33 $$

El sueldo promedio de los últimos seis meses es de \( \$10\,133.33 \).

Problema: Se desea estimar el sueldo promedio de los trabajadores de una fábrica eligiendo aleatoriamente a \( n = 10 \) trabajadores, cuyos sueldos son: \( 2\,000, 2\,200, 2\,500, 2\,200, 1\,800, 25\,000, 2\,400, 2\,300, 2\,800 \) y \( 2\,400 \).

Solución: Al aplicar la fórmula de la media muestral obtenemos:

$$ \bar{x} = \frac{1}{10}\left[ 2\,000 + 2\,200 + 2\,500 + 2\,200 + 1\,800 + 25\,000 + 2\,400 + 2\,300 + 2\,800 + 2\,400 \right] = \frac{45\,600}{10} = 4\,560 $$

Observación: La media representa un valor promedio donde cada dato influye por igual. Por consiguiente, como el sueldo de \( \$25\,000 \) es mucho mayor que el resto (un dato aberrante), el valor \( \$4\,560 \) no refleja la realidad de los otros nueve trabajadores.

Una vez ordenados los datos en forma no decreciente, localizamos el punto medio según ocurra alguno de los siguientes dos casos:

• Cuando la cantidad de observaciones \( n \) es impar: El punto medio del ordenamiento es el dato que se encuentra exactamente en la posición \( \frac{n + 1}{2} \).
• Cuando la cantidad de datos \( n \) es par: Resultan dos datos medios localizados en las posiciones \( \frac{n}{2} \) y \( \frac{n}{2} + 1 \), por lo que la mediana es el promedio aritmético de estos dos datos medios.

$$ \tilde{x} = \begin{cases} \tilde{x}_{\frac{n+1}{2}}, & \text{cuando la cantidad de datos } n \text{ es impar.} \\[10pt] \dfrac{\tilde{x}_{\frac{n}{2}} + \tilde{x}_{\frac{n}{2} + 1}}{2}, & \text{cuando la cantidad de datos } n \text{ es par.} \end{cases} $$

Problema: Encuentre la mediana del conjunto muestral de los \( n = 10 \) salarios del ejemplo anterior.

Paso 1: Ordenamos los 10 salarios en forma no decreciente y los renombramos como \( \tilde{x}_1, \tilde{x}_2, \dots, \tilde{x}_{10} \):

$$ 1\,800 \le 2\,000 \le 2\,200 \le 2\,200 \le \mathbf{2\,300} \le \mathbf{2\,400} \le 2\,400 \le 2\,500 \le 2\,800 \le 25\,000 $$

Paso 2: Como la cantidad de datos es \( n = 10 \) (número par), la mediana muestral se calcula con el promedio de los datos ordenados en las posiciones \( \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) y \( \frac{n}{2} + 1 = 5 + 1 = 6 \), que corresponden a \( \tilde{x}_5 = 2\,300 \) y \( \tilde{x}_6 = 2\,400 \):

$$ \tilde{x} = \frac{\tilde{x}_5 + \tilde{x}_6}{2} = \frac{2\,300 + 2\,400}{2} = 2\,350 $$

Interpretación: Observa que el valor aberrante de \( \$25\,000 \) no influye en la mediana: si en lugar de \( \$25\,000 \) fuera \( \$5\,000 \) o \( \$100\,000 \), la mediana seguiría siendo \( \$2\,350 \). Por esta razón, la mediana es una medida central insensible a los valores extremos.

Problema: En la siguiente lista se muestran las calificaciones de 20 exámenes de lingüística: \( 5, 8, 9, 9, 8, 10, 9, 5, 10, 5, 6, 5, 10, 10, 8, 9, 7, 9, 5, 9 \). Encuentre la moda de la distribución.

Solución: Al realizar el conteo de los datos verificamos que resultan:

• Cinco datos con valor \( 5 \).
• Un dato con valor \( 6 \) y otro con valor \( 7 \).
• Tres datos con valor \( 8 \).
• Seis datos con valor \( 9 \).
• Cuatro datos con valor \( 10 \).

Por lo tanto, la moda es \( M = 9 \), por ser la calificación que se repite más veces.

La moda presenta las siguientes situaciones que siempre deben verificarse:

• Puede no existir (Amodal): Cuando en una muestra todos los datos se repiten exactamente la misma cantidad de veces, el conjunto no tiene moda y se le llama amodal.
  Ejemplo 1: \( 6, 7, 9, 4, 8 \) (cada dato aparece 1 vez \( \rightarrow \) sin moda).
  Ejemplo 2: \( 6, 3, 8, 9, 3, 8, 6, 9 \) (todos los valores aparecen 2 veces \( \rightarrow \) sin moda).
• Puede no ser única (Multimodal): Cuando el conjunto tiene más de un valor que empata en la frecuencia máxima se llama multimodal: bimodal si tiene dos modas, trimodal si tiene tres, etcétera.
  Ejemplo: En la muestra \( 6, 7, 9, 4, 8, 6, 6, 8, 9, 6, 8, 6, 9, 3, 9, 9 \), tanto el \( 6 \) como el \( 9 \) se repiten cinco veces \( \rightarrow \) es bimodal con modas \( M = 6 \text{ y } 9 \).

• 1. Media aritmética (\( \bar{x} \)): Sumamos los 8 valores y dividimos entre \( n = 8 \): $$ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5 $$
• 2. Mediana (\( \tilde{x} \)): Los datos ya están ordenados en forma no decreciente y \( n = 8 \) es par. Promediamos los datos en las posiciones \( \frac{8}{2} = 4 \) y \( \frac{8}{2} + 1 = 5 \) (que son \( \tilde{x}_4 = 4 \) y \( \tilde{x}_5 = 5 \)): $$ \tilde{x} = \frac{4 + 5}{2} = 4.5 $$
• 3. Moda (\( M \)): El valor que se presenta con mayor frecuencia es el \( 4 \) (se repite 3 veces, mientras que el \( 5 \) se repite 2 veces): $$ M = 4 $$