Media Geométrica y Ponderada

$$ MG = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} $$

Restricción: De la definición de media geométrica se deduce que no se puede aplicar cuando algún dato vale cero (\( x_i = 0 \)) o cuando la cantidad de datos es par y existen valores negativos.

Problema: Calcule la media geométrica de los tiempos entre llegadas (en minutos) de seis aviones al aeropuerto: \( 3.5, 4.2, 2.9, 3.8, 4.0 \) y \( 2.8 \).

Solución: Como son \( n = 6 \) mediciones positivas, aplicamos la raíz sexta de su producto:

$$ MG = \sqrt[6]{3.5 \times 4.2 \times 2.9 \times 3.8 \times 4.0 \times 2.8} = \sqrt[6]{1\,814.3664} \approx 3.4939\text{ minutos} $$

$$ \text{Factor de crecimiento} = 1 + \frac{\text{tasa de interés}}{100} $$

El factor de crecimiento medio de varios periodos es el valor medio de estos factores, y la medida central exacta que debe utilizarse es la media geométrica.

Problema: Suponga que durante un periodo de cuatro años se registran tasas de interés anual de \( 100\%, 200\%, 250\% \) y \( 350\% \). Es decir, los factores de crecimiento son \( 2, 3, 3.5 \) y \( 4.5 \), respectivamente. ¿Cuánto crecerá un depósito inicial de \( \$1\,000 \) al término de cuatro años y cuál es su factor de crecimiento medio?

Paso 1 (Monto real acumulado año por año):

• Primer año: \( 1\,000 \times 2 = 2\,000 \)
• Segundo año: \( 2\,000 \times 3 = 6\,000 \)
• Tercer año: \( 6\,000 \times 3.5 = 21\,000 \)
• Cuarto año: \( 21\,000 \times 4.5 = \$94\,500 \)

Paso 2 (Comparación entre media aritmética y media geométrica):

Si usáramos erróneamente la media aritmética de los factores (\( \frac{2 + 3 + 3.5 + 4.5}{4} = 3.25 \)), el monto calculado sería \( 1\,000 \times (3.25)^4 = \$111\,566.41 \), valor que difiere del pago real. En cambio, si calculamos el factor de crecimiento medio con la media geométrica:

$$ MG = \sqrt[4]{2 \times 3 \times 3.5 \times 4.5} = \sqrt[4]{94.5} \approx 3.11787 $$

Al aplicar este factor medio geométrico durante los 4 años obtenemos \( 1\,000 \times (3.11787)^4 = \$94\,500 \), que corresponde exactamente al valor real.

Dado un conjunto de datos \( x_1, x_2, \dots, x_n \), se llaman pesos o ponderaciones a las cantidades \( w_1, w_2, \dots, w_n \) que cumplen:

1. \( w_i \in [0, 1] \) para todo valor de \( i \).
2. \( w_1 + w_2 + \dots + w_n = 1 \).

La media ponderada del conjunto de datos \( x_1, x_2, \dots, x_n \) con pesos respectivos \( w_1, w_2, \dots, w_n \) se denota por \( MP \) y se calcula por medio de:

$$ MP = \sum_{i=1}^{n} w_i x_i = w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_n x_n $$

Cuando los pesos se expresan en porcentajes o en frecuencias absolutas cuya suma no está normalizada a \( 1 \), se divide entre la suma total de los pesos:

$$ MP = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} $$

Problema: Calcule la calificación promedio de un estudiante en la materia de Fundamentos de Física, si la calificación está ponderada de la siguiente forma: \( 10\% \) tareas (\( w_1 = 0.1 \)), \( 40\% \) laboratorio (\( w_2 = 0.4 \)) y \( 50\% \) teoría (\( w_3 = 0.5 \)). Suponga que las calificaciones del estudiante fueron \( 8, 9 \) y \( 4 \), respectivamente.

Solución: Aplicando la fórmula de la media ponderada:

$$ MP = (0.1 \times 8) + (0.4 \times 9) + (0.5 \times 4) = 0.8 + 3.6 + 2.0 = 6.4 $$

La calificación final ponderada del estudiante es \( 6.4 \).

Problema: En una muestra de \( 100 \) pistones se encontró que \( 55 \) tenían un diámetro interno de \( 10.5\text{ cm} \), \( 25 \) de \( 10.0\text{ cm} \) y los \( 20 \) restantes de \( 10.75\text{ cm} \). Determine la media ponderada de su diámetro interno.

Solución: Las proporciones (pesos) de cada diámetro son \( w_1 = 0.55 \), \( w_2 = 0.25 \) y \( w_3 = 0.20 \):

$$ MP = (0.55 \times 10.5) + (0.25 \times 10.0) + (0.20 \times 10.75) = 5.775 + 2.500 + 2.150 = 10.425\text{ cm} $$